Question

在平面直角坐標系中，設向量

AB

=

a1

，

BC

=

a2

，

DA

=

a3

，

CD

=

a4

滿足

a1

+

a2

+

a3

+

a4

=

0

，且

an

=(xn，yn)，數列{x_n}，{y_n}分別是等差數列、等比數列，則四邊形ABCD是（　　）

• A、平行四邊形
• B、矩形
• C、梯形
• D、菱形

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由題意求得x₂+x₃=x₁+x₄=0，y₁+y₄=y₂+y₃=0，可得

AB

+

CD

=

BC

+

DA

=

0

，可得四邊形ABCD是平行四邊形．

解答： 解：∵

a1

+

a2

+

a3

+

a4

=

0

，且

an

=(xn，yn)，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=0，y₁+y₂+y₃+y₄=0．
∵數列{x_n}，{y_n}分別是等差數列、等比數列，設等比數列的公比為q，
則有 x₂+x₃=x₁+x₄=0，且y₁（1+q+q²+q³）=0，
即 （1+q）（1+q²）=0，∴q=-1，∴y₁+y₄=y₂+y₃=0．
可得

a1

+

a4

=

a2

+

a3

=

0

，即

AB

+

CD

=

BC

+

DA

=

0

，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故選：A．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，等差數列、等比數列的性質，屬于基礎題．