Question

【題目】對于數列，若滿足，則稱數列為“0-1數列”．定義變換，將“0-1數列”中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．例如:1,0,1，則設是“0-1數列”，令

3，…．

（Ⅰ） 若數列：求數列；

（Ⅱ） 若數列共有10項，則數列中連續兩項相等的數對至少有多少對？請說明理由；

（Ⅲ）若為0，1，記數列中連續兩項都是0的數對個數為，．求關于的表達式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；；

(Ⅱ) 10對 ；見詳解；

(Ⅲ)

【解析】

試題（Ⅰ）由變換的定義“將“數列”中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．”直接可得數列；（Ⅱ）數列中連續兩項相等的數對至少有10對，對于任意一個“0-1數列”，中每一個1在中對應連續四項1，0，0，1，在中每一個0在中對應的連續四項為0，1，1，0，因此，共有10項的“0-1數列”中的每一個項在中都會對應一個連續相等的數對； （Ⅲ）設中有個01數對，中的00數對只能由中的數對得到，所以，中的01數對有兩個產生途徑：①由中的1得到； ②由中00得到，討論的奇偶可求出所求．

試題解析：解：（Ⅰ）由變換的定義可得

（Ⅱ） 數列中連續兩項相等的數對至少有10對

證明：對于任意一個“0-1數列”，中每一個1在中對應連續四項1,0,0,1，在中每一個0在中對應的連續四項為0,1,1,0，

因此，共有10項的“0-1數列”中的每一個項在中都會對應一個連續相等的數對，

所以中至少有10對連續相等的數對．

（Ⅲ） 設中有個01數對，

中的00數對只能由中的01數對得到，所以，

中的01數對有兩個產生途徑：①由中的1得到； ②由中00得到，

由變換的定義及可得中0和1的個數總相等，且共有個，

所以，

所以，

由可得，

所以，

當時，

若為偶數，

上述各式相加可得，

經檢驗，時，也滿足

若為奇數，

上述各式相加可得，

經檢驗，時，也滿足

所以