Question

若兩圓x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，其中a，b∈R，ab≠0，則

4

a2

+

1

b2

的最小值為______．

Answer 1

由題意可得兩圓相外切，兩圓的標準方程分別為 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為2和1，故有

a2+4b2

=3，∴a²+4b²=9，
∴

4

a2

+

1

b2

=

1

9

（a²+4b²）（

4

a2

+

1

b2

）=

1

9

（8+

16b2

a2

+

a2

b2

）≥

1

9

（8+8）=

16

9

，
當且僅當

16b2

a2

=

a2

b2

時，等號成立，
∴

4

a2

+

1

b2

的最小值為

16

9

．
故答案為：

16

9

．