Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a為實常數．
（1）若函數f（x）的最小值為2，求a的值；
（2）當x∈[0，1]時，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+a|≥|（x﹣1）﹣（x+a）|=|a+1|，

當且僅當（x﹣1）（x+a）≤0時取等號，

∴f（x）min=|a+1|，

由|a+1|=2，解得：a=1或a=﹣3；

（2）解：當x∈[0，1]時，f（x）=﹣x+1+|x+a|，

而|x﹣2|=﹣x+2，

由|x﹣2|≥f（x）恒成立，

得﹣x+2≥﹣x+1+|x+a|，

即|x+a|≤1，解得：﹣1﹣a≤x≤1﹣a，

由題意得[0，1][﹣1﹣a，1﹣a]，

則 ，即﹣1≤a≤0

【解析】（1）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=2，解出a的值即可；（2）問題轉化為|x+a|≤1，求出x的范圍，結合集合的包含關系得到關于a的不等式組，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．