Question

設數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ.
（1）求a₃，a₄；
（2）證明：{a_n+1-2a_n}是等比數列；
（3）求{a_n}的通項公式.

Answer 1

（1）a₃=16,S₃=24,a₄=40（2）證明見解析（3）a_n= (n+1)·2^n-1

(1)解 因為a₁=S₁,2a₁=S₁+2,所以a₁=2,S₁=2.
由2a_n=S_n+2ⁿ知2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹,
得a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹.                                                ①
所以a₂=S₁+2²=2+2²=6,S₂=8,
a₃=S₂+2³=8+2³=16,S₃=24,a₄=S₃+2⁴=40.
(2)證明 由題設和①式知
a_n+1-2a_n=(S_n+2ⁿ⁺¹)-(S_n+2ⁿ)=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ,
所以{a_n+1-2a_n}是首項為2,公比為2的等比數列.
(3)解  a_n=(a_n-2a_n-1)+2(a_n-1-2a_n-2)+…+2^n-2(a₂-2a₁)+2^n-1a₁=(n+1)·2^n-1.