Question

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

2

，且經過點（4，-

10

）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設F₁、F₂為雙曲線C的左、右焦點，若雙曲線C上一點M滿足F₁M⊥F₂M，求△MF₁F₂的面積．

Answer 1

（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，
∴設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵離心率為

2

，
∴e=

c

a

=

2

，∴a=b，
又∵雙曲線過點(4，-

10

)，
∴

16

a2

-

10

a2

=1，解得a²=6，
∴所求雙曲線C的方程為

x2

6

-

y2

6

=1．…（4分）
（Ⅱ）∵c²=a²+b²=12，∴F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)，
設M（x₀，y₀），
則

F1M

=(x0+2

3

，y0)，

F2M

=(x0-2

3

，y0)，
∵F₁M⊥F₂M，∴

F1M

•

F2M

=0，即

x

20

+

y

20

=12，
又∵

x

20

-

y

20

=6，∴

x

20

=9，

y

20

=3．
∴S△MF1F2=

1

2

|F1F2|•|y0|=

1

2

×4

3

×

3

=6．…（10分）