Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比數列，求數列{a_n}的通項a_n

Answer 1

∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①  
∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3 —————————————— 2分
又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)="0 "
∵a_n+a_n－1>0 ， ∴a_n－a_n－1="5" (n≥2)  -------------------------------6分
當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73  a₁， a₃，a₁₅不成等比數列∴a₁≠3;-----------8分
當a₁=2時， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3

略