Question

【題目】環保部門對5家造紙廠進行排污檢查，若檢查不合格，則必須整改，整改后經復查仍然不合格的，則關閉．設每家造紙廠檢查是否合格是相互獨立的，且每家造紙廠檢查前合格的概率是 ，整改后檢查合格的概率是 ，求：
（Ⅰ）恰好有兩家造紙廠必須整改的概率；
（Ⅱ）至少要關閉一家造紙廠的概率；
（Ⅲ）平均多少家造紙廠需要整改？（其中（ ）5≈ ）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）每家造紙廠必須整改的概率是1﹣0.5，
且每家造紙廠是否整改是相互獨立的．
所以恰好有兩家造紙廠必須整改的概率是
P1= ×（1﹣0.5）2×0.53= =0.31．
（Ⅱ）某造紙廠被關閉，
即該造紙廠第一次安檢不合格，
整改后經復查仍不合格，
所以該造紙廠被關閉的概率是
P2=（1﹣0.5）×（1﹣0.8）=0.1，
從而該造紙廠不被關閉的概率是0.9．
由題意，每家造紙廠是否被關閉是相互獨立的，
所以至少關閉一家造紙廠的概率是：
P3=1﹣0.95=0.41；
（Ⅲ）由題設，必須整改的造紙廠數ξ服從二項分布B（5，0.5）．
從而ξ的數學期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家造紙廠必須整改
【解析】（Ⅰ）由每家煤礦必須整改的概率是1﹣0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的．代入n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式，即可得到答案；（Ⅱ）要至少關閉一家煤礦的概率．則表示該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到結論；（Ⅲ）由題意，必須整改的煤礦數ξ服從二項分布B（5，0.5），我們計算出ξ的數學期望，根據數學期望易得到平均有多少家煤礦必須整改．