Question

在△ABC中，滿足

AB

⊥

AC

，|

AB

|=3，|

AC

|=4，點M在線段BC上．
（1）M為BC中點，求

AM

•

BC

的值；
（2）若|

AM

|=

6 5

5

，求BM：BC的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：

BC

= 

AC

-

AB

并且

AM

=

1

2

( 

AC

+

AB

)，可得

AM

•

BC

=

1

2

(|

AC

|2-|

AB

|2)，進而得到答案．
（2）設BM：BC=λ，可得|

AM

|2=[(1-λ)

AB

+λ

AC

]2=

36

5

，根據題意可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：

BC

= 

AC

-

AB

，
又因為M為BC中點，所以

AM

=

1

2

( 

AC

+

AB

)，
所以

AM

•

BC

=

1

2

(

AC

+

AB

) (

AC

-

AB

)=

1

2

(|

AC

|2-|

AB

|2)=

7

2

．
（2）設BM：BC=λ
則

AM

=(1-λ)

AB

+λ

AC

∴|

AM

|2=[(1-λ)

AB

+λ

AC

]2=

36

5

，
因為

AB

⊥

AC

，|

AB

|=3，|

AC

|=4，
所以λ=

3

5

或

3

25

∴BM：BC=

3

5

或

3

25

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握向量的三角形法則與平行四邊形法則，以及平面向量的數量積運算．