Question

已知點P （4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個公共點為A（3，1），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．
（1）求m的值與橢圓E的方程．
（2）設D為直線PF₁與圓C的切點，在橢圓E上是否存在點Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A代入圓的方程求得m，設F₁（-c，0）則直線PF₁的方程可表示出來，根據直線PF₁與圓C相切利用點到直線的距離求得c，進而把點（3，1）代入橢圓方程，求得a和b的關系式，同時根據a²-b²=c³，求得a和b的另一個關系式，最后聯立求得a和b．則橢圓的方程可得．
（2）把直線方程與圓的方程聯立求得切點坐標，進而根據P的坐標求得線段PD的中點進而根據橢圓的右焦點求得直線MF₂的斜率進而求得其垂直平線的斜率，進而判斷出線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個交點判斷出在橢圓上存在兩個點Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形．

解答：解（1）∵點A（3，1）在圓C上，
∴（3-m）²+1=5
又m＜3，∴m=1
設F₁（-c，0），∵P（4，4）
∴直線PF₁的方程
為4x-（4+c）y+4c=0
∵直線PF₁與圓C相切
∴

|4+4c|

16+(4+c)2

=

5

(c＞0)即c=4
由

a2-b2=16 9 a2 + 1 b2 =1

解得

a2=18 b2=2

∴橢圓E的方程是

x2

18

+

y2

2

=1
（2）直線PF₁的方程為x-2y+4=0
由

x-2y+4=0 (x-1)2+y2=5

得切點D（0，2）
又∵P（4，4），∴線段PD的中點為M（2，3）
又∵橢圓右焦點F₂（4，0）kMF2=

3

2-4

=-

3

2

又kPD=

1

2

，∴線段PD的垂直平分線的斜率為-2
∵-2＜-

3

2

，∴線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個交點
即在橢圓上存在兩個點Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．位置關系是歷年高考命題的熱點；試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，平時應注意多訓練．