Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中點．
（Ⅰ）在線段B₁C₁上是否存在一點N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出點N的位置幷證明；若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，可以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設出N點坐標，根據MN⊥平面A₁BC，則•=0，•=0，構造方程組，若方程組有解，則存在滿足條件點N，若方程組無解，則不存在滿足條件點N；
（II）分別求出平面A₁AB和平面A₁BC的法向量，代入向量夾角公式，求出平面A₁AB和平面A₁BC所成角的余弦值，進而可以求出平面A₁AB和平面A₁BC所成角的．
解答：解：（Ⅰ）根據題意CA、CB、CC₁兩兩互相垂直
如圖：以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系
設AC=BC=CC₁=a，則A₁（a，0，a），，B（0，a，0），B₁（0，a，a），A（a，0，0），C₁（0，0，a），
假設在B₁C₁上存在一點N，使MN⊥平面A₁BC，設N（0，y，a）
所以=（a，-a，a），=（a，0，a），
由•=0，•=0，得：
∴N在線段B₁C₁的中點處（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN⊥平面A₁BC，則平面A₁BC的一個法向量為分
取AB中點D，連接CD，易證CD⊥平面A₁AB
∴可得面A₁AB的一個法向量（8分）

所以面A₁AB和面A₁BC所成的角為．（12分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中建立適當的空間坐標系，將空間線線垂直及面面夾角問題轉化為向量垂直和向量夾角問題是解答本題的關鍵．