Question

已知數列滿足（為常數，）
（１）當時，求；
（２）當時，求的值；
（3）問：使恒成立的常數是否存在？并證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在

試題分析：（1）由，所以，.所以數列是一個等差數列.首項為2，公差為6，所以可求得通項公式.
（2）由，由于需要求的值，所以考慮數列的周期性，通過列舉即可得到數列的周期為6.從而可求得的值.
（3）假設存在常數使得恒成立.由，向前遞推一個式子，再利用將得到兩個關于的等式，從而消去一個即可得到，或．由于.所以只有.再結合已知即可得到結論.
試題解析：（1）
（2）　，，，
，，，，，，，，
，我們發現數列為一周期為６的數列．事實上，由有
，．……8分(理由和結論各2分)
因為　，所以．
（3）假設存在常數，使恒成立．
由　　　　　①，
及，有 ②
1式減2式得．
所以，或．
當，時，數列｛｝為常數數列，不滿足要求．
由得，于是，即對于，都有，所以　，從而　．
所以存在常數，使恒成立．