Question

已知函數

（I）求曲線在處的切線方程。

（II）設如果過點可作曲線的三條切線，證明：

 

Answer 1

【答案】

（I） 

（II）通過研究函數的極大值和極小值分別為和，由的單調性可知，

當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；

當極大值或極小值時，方程只有兩個相異的實數根；

從而，且方程才有三個相異的實數根．即可得證

【解析】

試題分析：（I）求函數的導數：．

曲線在點處的切線方程為 

（II）如果有一切線過點，則存在使得于是，若過點可作曲線的三條切線，則轉化為方程有三個相異的實數根。

記，則 

時，則在此區間單調遞增；

時，則在此區間單調遞減；

時，則在此區間單調遞增；

可求得函數的極大值和極小值分別為和。

由的單調性可知，

當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；

當極大值或極小值時，方程只有兩個相異的實數根；

依題意：且方程才有三個相異的實數根．

即可得證

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性及極值，方程根的討論。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過求確定處導函數值，得到切線的斜率，進一步可求切線方程。討論方程的根，可通過討論函數的單調性及極值情況，認識切線特征，得到解題目的。