Question

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf^/（x）＞f（x）在x＞0時(shí)恒成立．
（1）求證：函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求證：當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）；
（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：①利用商的導(dǎo)數(shù)法則求的導(dǎo)數(shù)，由已知知其大于0，所以單增．
②利用①的結(jié)論及x₁+x₂＞x₂，和x₁+x₂＞x₁，證出不等式
③與正整數(shù)有關(guān)的命題用數(shù)學(xué)歸納法證
解答：解：（1）由得，因?yàn)閤f^/（x）＞f（x），
所以g^/（x）＞0在x＞0時(shí)恒成立，所以函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，
有成立，（5分）
從而，
兩式相加得f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）推廣到一般情況為：
若x_i＞0（i=1，2，3n），則f（x₁+x₂+…+x_n）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），n∈N，n≥2．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）當(dāng)n=2時(shí)，有（2）已證成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)成立，即f（x₁+x₂+…+x_k）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，f（x₁+x₂+…+x_k+x_k+1）＞f（x₁+x₂+…+x_k）+f（x_k+1）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）+f（x_k+1）
成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
有（1）（2）可知不等式對一切n∈N，n≥2時(shí)都成立．（12分）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；利用當(dāng)調(diào)性及數(shù)學(xué)歸納法證不等式