Question

已知橢圓E：

x2

4

+y²=1的左、右頂點分別為A、B，圓x²+y²=4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k₁，k₂，若k₁=2k₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設D（x₀，y₀），
∵橢圓E：

x2

4

+y²=1的左、右頂點分別為A（-2，0）、B（2，0），
C（1，0），∠ADC=90°，
∴

AD

•

AC

=（x₀+2，y₀）•（x₀-1，y₀）=（x₀+2）（x₀-1）+y₀²=0，
聯立

(x0+2)(x0-1)+y02=0 x02+4y02=4

，
解得

x0= 2 3 y0= 2 2 3

或

x0=-2 y0=0

（舍），
∴S△ADC=

1

2

×3×

2 2

3

=

2

，
∴△ADC的面積S為

2

．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∵P，Q分別在圓與橢圓上，
∴x12+y12=4，

x22

4

+y22=1，
∵A（-2，0），P（x₁，y₁），D（x₂，y₂）三點共線，
則有

y1

x1+2

=

y2

x2+2

．
∵k1=

y1

x1-2

，k2=

y2

x2-1

，又k₁=λk₂，即

y1

x1-2

=λ•

y2

x2-1

，
∴

y1

x1-2

•

y1

x1+2

=λ•

y2

x2-1

•

y2

x2+2

，即

y12

x12-4

=λ•

y22

(x2-1)(x2+2)

，
又y12=4-x12，y22=1-

x22

4

，代入得-1=λ•

1- x22 4

(x2-1)(x2+2)

，
即λ=

4(1-x2)

2-x2

=4（1-

1

2-x2

），
∵x₂∈（-2，2），∴λ＜3，又∵λ≠0，
∴λ∈（-∞，0）∪（0，3）．