【題目】函數(shù)
，其中
，
.
（1）若
為定值，求
的最大值；
（2）求證：對任意
，有
；
（3）若
，
，求證：對任意
，直線
與曲線
有唯一公共點.
【答案】（1）
（2）見證明；（3）見證明；
【解析】
（1）n看作常數(shù)，函數(shù)求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)等于零，可得
，可知函數(shù)在處有極大值，可得函數(shù)最大值（2）取
得
，利用放縮法得
，再根據(jù)裂項相消法求和即可（3）要證明當(dāng)
，
時，關(guān)于
的方程
有唯一解，令
，即證明
有唯一零點，再利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，極值確定函數(shù)大致圖象，證明只有唯一零點即可.
（1）
為定值，故
，令
，得，當(dāng)
時，
，當(dāng)
時，
，所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值
，也是最大值，所以.
（2）由前一問可知
，取得，于是
.
（3）要證明當(dāng)，時，關(guān)于的方程有唯一解，令，即證明有唯一零點，先證明
存在零點，再利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，極值確定函數(shù)只有唯一零點.
我們先證三個引理
【引理1】
（由第1問取
即可）
【引理2】
（由【引理1】變形得到）
【引理3】
（可直接證明也可由【引理2推出】
證明：
.
下面我們先證明函數(shù)存在零點，先由【引理2】得到：
.
令
，可知
.再由【引理3】得到
，于是
.
令
，且
，可知
.由連續(xù)性可知該函數(shù)一定存在零點.
下面我們開始證明函數(shù)最多只能有一個零點.我們有
.
令
，則
，則
在
遞增，在
遞減，即
.
當(dāng)
時，有
恒成立，在
上遞增，所以最多一個零點.
當(dāng)
時，令
，
，即
，于是
.
再令
，由【引理1】可以得到
.
因此函數(shù)在
遞增，
遞減，
遞增，
時，有極大值但其極大值
，所以最多只有一個零點.
綜上，當(dāng)，時，函數(shù)
與
的圖像有唯一交點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的前n項和
， 
是等差數(shù)列，且
.
（Ⅰ）求數(shù)列
的通項公式；
（Ⅱ）令
.求數(shù)列
的前n項和
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，且函數(shù)
奇函數(shù)而非偶函數(shù).
（1）寫出
的單調(diào)性（不必證明）；
（2）當(dāng)
時，的取值范圍恰為
，求
與
的值；
（3）設(shè)
是否存在實數(shù)
使得函數(shù)
有零點？若存在，求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
市某機構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦
年足球世界杯的態(tài)度，隨機選取了
位市民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：
支持 | 不支持 | 合計 | |
男性市民 |
| ||
女性市民 |
| ||
合計 |
|
|
（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；
（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：
（i）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；
（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有
位退休老人，其中
位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機抽取
人，求至多有
位老師的概率.
附：
，其中
.
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在三棱拄
中，
側(cè)面
，已知
，
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）試在棱
(不包含端點
)上確定一點
的位置，使得
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求
和平面
所成角正弦值的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，平面
平面
，四邊形為直角梯形，
∥
，
，
，
，
，
為
的中點．
（1）求證:
∥平面
；
（2）若點
在線段
上，滿足
，求直線與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】呼和浩特市地鐵一號線于2019年12月29日開始正式運營有關(guān)部門通過價格聽證會，擬定地鐵票價后又進(jìn)行了一次調(diào)查.調(diào)查隨機抽查了50人，他們的月收入情況與對地鐵票價格態(tài)度如下表：
月收入（單位：百元） |
|
|
|
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|
|
認(rèn)為票價合理的人數(shù) | 1 | 2 | 3 | 5 | 3 | 4 |
認(rèn)為票價偏高的人數(shù) | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
（1）若以區(qū)間的中點值作為月收入在該區(qū)間內(nèi)人的人均月收入求參與調(diào)查的人員中“認(rèn)為票價合理者”的月平均收入與“認(rèn)為票價偏高者”的月平均收入的差是多少（結(jié)果保留2位小數(shù)）；
（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面
列聯(lián)表分析是否有
的把握認(rèn)為“月收入以5500元為分界點對地鐵票價的態(tài)度有差異”
月收入不低于5500元人數(shù) | 月收入低于5500元人數(shù) | 合計 | |
認(rèn)為票價偏高者 | |||
認(rèn)為票價合理者 | |||
合計 |
附：
| 0.05 | 0.01 |
| 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在
與
時都取得極值.
(1)求實數(shù)
的值；
(2)若對任意
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（ ）
A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是
，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為
B.三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為
，，
，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為
C.甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為
D.設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為
，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是
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