Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4，BD=4

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，AB=2CD=8．
（1）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）當M點位于線段PC什么位置時，PA∥平面MBD？

Answer 1

分析：（1）欲證平面MBD⊥平面PAD，根據面面垂直的判定定理可知在平面MBD內一直線與平面PAD垂直，而根據題意可得BD⊥平面PAD；
（2）欲證PA∥平面MBD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面MBD內一直線平行，根據比例關系可知PA∥MN，而MN?平面MBD，滿足定理條件．

解答：證明：（1）在△ABD中，
∵AD=4，BD=4

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，AB=8，∴AD²+BD²=AB²．
∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（2）當M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，PA∥平面MBD．
證明如下：連接AC，交BD于點N，連接MN．
∵AB∥DC，所以四邊形ABCD是梯形．
∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．
又∵CM：MP=1：2，
∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．
∵MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及線面平行的判定，屬于基礎題．