【題目】設函數
.
（1）討論
在
上的單調性；
（2）證明：在
上有三個零點.
【答案】（1）
的單調遞減區間為
，
；單調遞增區間為
，
.（2）證明見解析
【解析】
（1）利用導數的正負可求函數的單調區間.
（2）結合函數的單調性和零點存在定理可證明在
上有3個零點，再構建新函數可證明在
上沒有零點.
（1）
，
由
及
，得
或
或
.
當
變化時，
和的變化情況如下表：
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| － | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| ↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以的單調遞減區間為，；
的單調遞增區間為，.
（2）當時，由（1）得，
的極小值分別為
，
；
極大值
.又
，
所以在
上僅有一個零點0；
在
，上各有一個零點.
當
時，
，
令
，則
，
顯然
時，
單調遞增，
；
當
時，
，
從而時，
，
單調遞減，
因此
，即
，
所以在
上沒有零點.
當
時，
，
令
，則
，
顯然
時，
，
；
當
時，
，
從而時，，
單調遞增，
因此
，即
，
所以在
上沒有零點.
故在
上僅有三個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國家大力提倡科技創新，某工廠為提升甲產品的市場競爭力，對生產技術進行創新改造，使甲產品的生產節能降耗．以下表格提供了節能降耗后甲產品的生產產量
(噸)與相應的生產能耗
(噸)的幾組對照數據．
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程
；
（
，
）
（2）已知該廠技術改造前生產
噸甲產品的生產能耗為
噸，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測節能降耗后生產噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知非空集合
是由一些函數組成，滿足如下性質：①對任意
，
均存在反函數
，且
；②對任意，方程
均有解；③對任意、
，若函數
為定義在
上的一次函數，則
.
（1）若
，
，均在集合中，求證：函數
；
（2）若函數
（
）在集合中，求實數
的取值范圍；
（3）若集合中的函數均為定義在上的一次函數，求證：存在一個實數
，使得對一切，均有
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 已知拋物線
的頂點為坐標原點
，焦點
在
軸的正半軸上，過點的直線
與拋物線相交于
，
兩點，且滿足
（1）求拋物線的方程；
（2）若
是拋物線上的動點，點
在
軸上，圓
內切于
，求面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】正數數列
、
滿足：
≥
，且對一切k≥2，k
，
是
與
的等差中項，
是與的等比中項．
（1）若
，
，求，的值；
（2）求證：是等差數列的充要條件是為常數數列；
（3）記
，當n≥2(n)時，指出
與
的大小關系并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，給出下列四個命題：
①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若m⊥α，m∥β，則α⊥β．
其中正確命題的個數是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（其中
為自然對數的底數）．
（1）求
的單調性；
（2）若
，對于任意
，是否存在與
有關的正常數
，使得
成立？如果存在，求出一個符合條件的；否則說明理由．
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