Question

彭山二中決定在新校區附近修建教師宿舍，學校行政辦公室用100萬元從政府購得一塊廉價土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費用提高20元．已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費用為800元．
（1）若建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為y萬元（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），寫出y=f（x）的表達式．
（2）為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低，學校應把樓層建成幾層？此時平均綜合費用為每平方米多少元？

Answer 1

分析：（1）第1層樓房每平方米建筑費用為720元，第1層樓房建筑費用為720×1000=720000（元）=72（萬元）；
樓房每升高一層，整層樓建筑費用提高20×1000=20000（元）=2（萬元）；第x層樓房建筑費用為72+（x-1）×2=2x+70（萬元）；建筑第x層樓時，樓房綜合費用=建筑總費用（等差數列前n項和）+購地費用，由此可得y=f（x）；
（2）樓房每平方米的平均綜合費用為g（x），則g(x)=

f(x)×10000

1000x

（元），代入（1）中f（x）整理，求出最小值即可．

解答：解：（1）由題意知，建筑第1層樓房每平方米建筑費用為：720元．
建筑第1層樓房建筑費用為：720×1000=720000（元）=72（萬元）
樓房每升高一層，整層樓建筑費用提高：20×1000=20000（元）=2（萬元）
建筑第x層樓房建筑費用為：72+（x-1）×2=2x+70（萬元）
建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為：y=f(x)=72x+

x(x-1)

2

×2+100=x2+71x+100
所以，y=f（x）=x²+71x+100（x≥1，x∈Z）
（2）設該樓房每平方米的平均綜合費用為g（x），則：
g(x)=

f(x)×10000

1000x

=

10f(x)

x

=

10(x2+71x+100)

x

=10x+

1000

x

+710≥2

10x• 1000 x

+710=910，
當且僅當10x=

1000

x

，即x=10時，等號成立；
所以，學校應把樓層建成10層．此時平均綜合費用為每平方米910元．

點評：本題考查了等差數列前n項和的應用，基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的應用；應用基本不等式求最值時，要注意“=”成立的條件．