Question

(本小題滿分14分)

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，側棱與底面所成的角為α  (0°＜α＜90°)，點在底面上的射影落在上．

(1)求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

(2)若AB₁⊥BC₁，D為BC的中點，求α ；

(3)若α = arccos ，且AC=BC=AA₁時，求二面角C₁—AB—C的大小．

Answer 1

解 (1)∵  B₁D⊥平面ABC，  AC平面ABC，

∴    B₁D⊥AC， 又AC⊥BC，  BC∩B₁D=D．

        ∴  AC⊥平面BB₁C₁C．

        (2) ∵ AC⊥平面BB₁C₁C ，AB₁⊥BC₁ ，由三垂線定理可知，

            B₁C⊥BC₁．

         ∴  平行四邊形BB₁C₁C為菱形，此時，BC=BB₁．

         又∵ B₁D⊥BC，D為BC中點，B₁C= B₁B，∴△BB₁C為正三角形，

         ∴  ∠B₁BC= 60°．

(3)過C₁作C₁E⊥BC于E，則C₁E⊥平面ABC．

過E作EF⊥AB于F，C₁F，由三垂線定理，得C₁F⊥AB．

∴∠C₁FE是所求二面角C₁—AB—C的平面角．

設AC=BC=AA₁=a，

在Rt△CC₁E中，由∠C₁BE=α=，C₁E=a．

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a．

∴∠C₁FE=45°，故所求的二面角C₁—AB—C為45°．

解法二：(1)同解法一 

(2)要使AB₁⊥BC₁，D是BC的中點，即=0，||=||，

∴， =0，∴．

∴，故△BB₁C為正三角形，∠B₁BC=60°；

∵  B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，

       ∴ ∠B₁BC即為側棱與底面所成的角．

      故當α=60°時，AB₁⊥BC₁，且D為BC中點．

(3)以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，經過C點且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，-，a)，

平面ABC的法向量n₁=(0，0，1)，設平面ABC₁的法向量n₂=(x，y，z)．

由n₂=0，及n₂=0，得

   ∴n₂=(，，1)．

cos＜n₁， n₂＞= = ，

故n₁ ， n₂所成的角為45°，即所求的二面角為45