Question

（本小題共13分）已知函數，其中．

（Ⅰ）求證：函數在區間上是增函數；

（Ⅱ）若函數在處取得最大值，求．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）．

因為且，所以．

所以函數在區間上是增函數．                  …………6分

（Ⅱ）由題意.

則.    …………8分

令，即. ①

由于 ，可設方程①的兩個根為，，

由①得，

由于所以，不妨設，

．

當時，為極小值，

所以在區間上，在或處取得最大值；

當≥時，由于在區間上是單調遞減函數，所以最大值為，

綜上，函數只能在或處取得最大值．      …………10分

又已知在處取得最大值，所以≥，

即≥，解得≤，又因為，

所以（］．                                      ………13分

【解析】本題考查函數的最值、極值和函數的單調區間，考查學生利用導數法求解函數性質的解題能力。解題時須注意求導的準確性和明確函數的定義域；求解函數的最值，一般思路是明確函數的定義域，利用求導判斷函數的單調性，然后再給定的區間上判斷函數的最值。本題的第一問按照函數遞增的等價性進行證明；第二問中利用函數的最值情形，根據分類討論思想討論的取值范圍.