Question

（本小題滿分12分）已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點B(8,0)的距離的一半，求：
(1) 動點M的軌跡方程；
(2) 若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡．

Answer 1

(1) x²＋y²＝16； (2) 以(1,0)為圓心，2為半徑的圓．

試題分析：(1)設動點M(x，y)為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合P＝{M||MA|＝|MB|}．
由兩點間距離公式，點M適合的條件可表示為
＝.
平方后再整理，得x²＋y²＝16.   可以驗證，這就是動點M的軌跡方程．
(2)設動點N的坐標為(x，y)，M的坐標是(x₁，y₁)．
由于A(2,0)，且N為線段AM的中點，
所以x＝，y＝.
所以有x₁＝2x－2，y₁＝2y.①
由(1)知，M是圓x²＋y²＝16上的點，
所以M的坐標(x₁，y₁)滿足＋＝16.②
將①代入②整理，得(x－1)²＋y²＝4.     所以N的軌跡是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓．
點評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關點代入法、參數法。本題主要是利用直接法和相關點代入法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程。相關點代入法 是根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程。