Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E為PA中點，過E作平行于底面的面EFGH分別與另外三條側棱交于F，G，H，已知底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°
（1）求異面直線AF，BG所成的角的大小；
（2）設面APB與面CPD所成的銳二面角的大小為θ，求cosθ．

Answer 1

分析：由題意可知，AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標系A-xyz，求出圖中各點坐標
（1）求出異面直線AF，BG的方向向量，根據兩個向量的數量積為0，兩個向量垂直，易得異面直線AF，BG所成的角的大小為

π

2

；
（2）求出平面APB的法向量為

n

和設平面CPD的法向量為

m

，代入向量夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

，可得面APB與面CPD所成的銳二面角的大小．

解答：解：由題意可知，AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標系A-xyz，由平面幾何知識知：
AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），
F（1，0，1），G（1，1，1）…（2分）
（1）

AF

=(1，0，1)，

BG

=(-1，1，1)，
∴

AF

•

BG

=0
∴AF與BG所成的角為

π

2

．…（4分）
（2）∵AD⊥平面APB，
∴平面APB的法向量為

n

=（0，1，0）
設平面CPD的法向量為

m

=(1，y，z)，
由

m • CD =0 m • PD =0

⇒

y=1 z=2

∴

m

=（1，1，2）．…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

6

，
即cosθ=

6

6

…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標系，將空間線線夾角及二面角問題轉化為空間向量夾角問題，是解答本題的關鍵．