Question

【題目】已知圓心為的圓經過點和，且圓心在直線上．

（1）求圓的方程；

（2）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）直線的方程為或．

【解析】

（1）由圓的性質可得：的垂直平分線方程與直線聯立方程組求得圓心為，用兩點之間距離公式求得，即可求出圓的標準方差.

（2）由圓的半徑，弦長，利用垂徑定理和勾股定理求出弦心距，再利用圓心到直線的距離為求出直線方程即可，需注意斜率不存在的情況.

（1）因為，，所以線段的中點坐標為，

直線的斜率，因此線段的垂直平分線方程是：，即．

圓心的坐標是方程組的解．解此方程組得：，

所以圓心的坐標是．

圓的半徑長，

所以圓心為的圓的標準方程是．

（2）因為，所以在圓內.

又因為直線被圓截得的弦長為，

所以圓心到直線的距離

①當直線的斜率不存在時，，

到的距離為，符合題意．

②當直線的斜率存在時，設，即．

所以，，

解得，直線為：，即：

綜上：直線的方程為或．