Question

【題目】對于給定的數列，，設，即是，，…，中的最大值，則稱數列是數列，的“和諧數列”．

（1）設，，求，，的值，并證明數列是等差數列；

（2）設數列，都是公比為q的正項等比數列，若數列是等差數列，求公比q的取值范圍；

（3）設數列滿足，數列是數列，的“和諧數列”，且（m為常數，，2，…，k），求證：．

Answer 1

【答案】（1），，；證明詳見解析；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

（1）根據和諧數列定義求出，，，求出，利用等差數列定義證明即可；

（2）分和兩種情況討論，時，可得，計算知數列不是等差數列，當時，可滿足是等差數列；

（3）根據條件可證明，可得，所以，即證.

（1）由題意知，

，

．

因為恒成立，

所以，

則4，

即，

故（與n無關的常數），

所以數列是公差為1的等差數列．

（2）因為數列，都是公比為q的正項等比數列，

所以，，．

．

當時，;，

所以，

則．

因為

，

所以，

此時數列不是等差數列，與題意矛盾．

當時，，

所以，

則，

此（與n無關的常數），

所以數列是等差數列，符合題意．

綜上，公比q的取值范圍是．

（3）因為，

所以，

上面兩式相減得

因為

又，所以

，

所以

故，

即

則，

所以．