Question

空間直角坐標系O-xyz有8個點：P₁（1，1，1）、P₂（-1，1，1）、…、P₇（-1，-1，-1）、P₈（1，-1，-1）（每個點的橫、縱、豎坐標都是1或-1），以其中4個點為頂點的三棱錐一共有

58

個（用數字作答）．

Answer 1

分析：根據題意，易得P₁、P₂、…、P₇、P₈正好是一個正方體的8個頂點，進而計算在這8個點中任取4個的情況數目，再分析其中4點共面的兩種情形：①在正方體的表面上，②在正方體的對角面上，可得其中4點共面的情況數目，相減可得其中不共面的情況數目，由三棱錐的結構特點，可得以這8點中的其中4個點為頂點的三棱錐的個數．

解答：解：根據題意，易得P₁、P₂、…、P₇、P₈正好是一個正方體的8個頂點，
從這8個點中任取4個，有C₈⁴=70種情況，
其中4點共面的有兩種情形：①在正方體的表面上，有6種情況，
②在正方體的對角面上，有6種情況，共6+6=12種共面的情況；
不共面的情況有70-12=58種，每種不共面的情況可以得到一個三棱錐；
則可以得到三棱錐有58個；
故答案為58．

點評：本題考查排列組合的運用，涉及正方體的幾何結構，注意分析四點共面的情況時，容易忽略正方體的對角面這種情況．