Question

某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量p（L）關于行駛速度v（km/h）的函數解析式可以表示為：p=

1

128000

v3-

3

80

v+8（{0＜v≤120}）．已知甲、乙兩地相距100km，設汽車的行駛速度為x（km/h），從甲地到乙地所需時間為t（h），耗油量為y（L）．
（1）求函數t=g（x）及y=f（x）；
（2）求當x為多少時，y取得最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）汽車行駛的時間函數t=g（x）=

路程

速度

；耗油量函數y=f（x）=每小時耗油量p×函數t，代入數據整理即可．
（2）對y求導，得y^′，令y'=0，得x的值，由導數的正、負與函數增減性的關系求得y的最小值．

解答：解：（1）從甲地到乙地汽車的行駛時間為：t=g(x)=

100

x

(0＜x≤120)，
則耗油量y=f(x)=pt=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

(0＜x≤120)．
（2）對y求導，得y′=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

，由y'=0，得x=80，列出下表：

x	（0，80）	80	（80，120）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值11.25	↗

所以，當x=80時，y取得極小值也是最小值11.25．
答：當汽車的行駛速度為80km/h時，耗油量最少，為11.25L．

點評：本題利用求導數的方法考查了函數的增減性和最值問題：當f'（x）＜0時，f（x）在這一區間上是減函數；當f'（x）＞0時，f（x）在這一區間上是增函數．