Question

已知雙曲線C：和圓O：x²+y²=b²（其中原點O為圓心），過雙曲線C上一點P（x，y）引圓O的兩條切線，切點分別為A、B．
（1）若雙曲線C上存在點P，使得∠APB=90°，求雙曲線離心率e的取值范圍；
（2）求直線AB的方程；
（3）求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a＞b＞0，知．由∠APB=90°及圓的性質，知四邊形PAOB是正方形，所以．由此能求出雙曲線離心率e的取值范圍．
（2）方法1：因為PA²=OP²-OA²=x²+y²-b²，所以以點P為圓心，|PA|為半徑的圓P的方程為（x-x）²+（y-y）²=x²+y²-b²．聯立方程組，得直線AB的方程．
方法2：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），已知點P（x，y），則k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．因為PA⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．因為OA=OB，PA=PB，根據平面幾何知識可知，AB⊥OP．因為，所以．由此能求出直線AB的方程．
方法3：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），已知點P（x，y），則k_PA=，．因為PA⊥OA，所以．由此能求出直線AB的方程．
（3）由直線AB的方程為xx+yy=b²，知點O到直線AB的距離為．由，知△OAB的面積．以下給出求三角形OAB的面積S的三種方法：
方法1：因為點P（x，y）在雙曲線上，所以．設，所以．再由導數能夠求出．
方法2：設，則．因為點P（x，y）在雙曲線上，所以．令，再由導數能夠求出．
方法3：設t=x²+y²，則．因為點P（x，y）在雙曲線上，所以．令，所以g（u）在上單調遞增，在上單調遞減．由此能夠求出．
解答：解：（1）因為a＞b＞0，所以，所以．（1分）
由∠APB=90°及圓的性質，可知四邊形PAOB是正方形，所以．
因為，所以，所以．（3分）
故雙曲線離心率e的取值范圍為．（4分）
（2）方法1：因為PA²=OP²-OA²=x²+y²-b²，
所以以點P為圓心，|PA|為半徑的圓P的方程為（x-x）²+（y-y）²=x²+y²-b²．（5分）
因為圓O與圓P兩圓的公共弦所在的直線即為直線AB，（6分）
所以聯立方程組（7分）
消去x²，y²，即得直線AB的方程為xx+yy=b²．（8分）
方法2：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），已知點P（x，y），
則k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．
因為PA⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．（5分）
整理得xx₁+yy₁=x₁²+y₁²．
因為x₁²+y₁²=b²，所以xx₁+yy₁=b²．（6分）
因為OA=OB，PA=PB，根據平面幾何知識可知，AB⊥OP．
因為，所以．（7分）
所以直線AB方程為．
即xx+yy=xx₁+yy₁．
所以直線AB的方程為xx+yy=b²．（8分）
方法3：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），已知點P（x，y），
則k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．
因為PA⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．
整理得xx₁+yy₁=x₁²+y₁²．
因為x₁²+y₁²=b²，所以xx₁+yy₁=b²．（6分）
這說明點A在直線xx+yy=b²上．（7分）
同理點B也在直線xx+yy=b²上．
所以xx+yy=b²就是直線AB的方程．（8分）
（3）由（2）知，直線AB的方程為xx+yy=b²，
所以點O到直線AB的距離為．
因為，
所以三角形OAB的面積．（10分）
以下給出求三角形OAB的面積S的三種方法：
方法1：因為點P（x，y）在雙曲線上，
所以，即（x²≥a²）．
設，
所以．（11分）
因為，
所以當0＜t＜b時，S'＞0，當t＞b時，S'＜0．
所以在（0，b）上單調遞增，在（b，+∞）上單調遞減．（12分）
當，即時，，（13分）
當，即時，．
綜上可知，當時，；當時，．（14分）
方法2：設，則．（11分）
因為點P（x，y）在雙曲線上，即，即（x²≥a²）．
所以．
令，則．
所以當0＜t＜b時，g'（t）＜0，當t＞b時，g'（t）＞0．
所以在（0，b）上單調遞減，在（b，+∞）上單調遞增．（12分）
當，即時，，（13分）
當，即時，．
綜上可知，當時，；當時，．（14分）
方法3：設t=x²+y²，則．（11分）
因為點P（x，y）在雙曲線上，即，即（x²≥a²）．
所以．
令，
所以g（u）在上單調遞增，在上單調遞減．（12分）
因為t≥a，所以，
當，即時，，此時．
（13分）
當，即時，，此時．
綜上可知，當時，；當時，．（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意導數的合理的運用，結合圓錐曲線的性質恰當地進行等價轉化．