Question

如圖1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設點F是AB的中點．

圖1 圖2

(1)求證：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B ?DEG的體積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)如圖(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，過點D作AC的垂線交于點M，則DM＝，EM＝1，∴DE＝2，CD＝2.

則CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.

在圖(2)中，

又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，

∴DE⊥平面BCD.

圖(1) 圖(2)

(2)在圖(2)中，

∵EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，

∴EF∥BG.

∵點E在線段AC上，CE＝4，點F是AB的中點，

∴AE＝EG＝CG＝2.

作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.

由條件得BH＝.

S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝.

三棱錐B ?DEG的體積V＝S△DEG·BH＝××＝.