Question

已知動點A、B分別在x軸、y軸上,且滿足|AB|=2,點P在線段AB上,且=t（t是不為0的常數），設點P的軌跡方程為C.

(1)求點P的軌跡方程C;

(2)若曲線C為焦點在x軸上的橢圓,試求實數t的取值范圍;

(3)若t=2,點M、N是C上關于原點對稱的兩個動點,點Q的坐標為(,3),求△QMN的面積S的最大值.

Answer 1

解：(1)設點A(a,0),B(0,b),P(x,y),∵=t,即(x-a,y)=t(-x,b-y),即

則又∵|AB|=2，即a²+b²=4,∴+=1.

∴點P的軌跡方程C：+=1.

(2)∵曲線C為焦點在x軸上的橢圓，∴＞，得t²＜1-1＜t＜1.

又∵t＞0,∴0＜t＜1.

(3)當t=2時，曲線C的方程為+=1.

設M(x₁,y₁),N(-x₁,-y₁),則|MN|=2.

當x₁≠0時，設直線MN的方程為y= x,則點Q到直線MN的距離h=,

∴△QMN的面積S=·2·=|y₁-3x₁|.

∴S²=|y₁-3x₁|²=9x₁²+y₁²-9x₁y₁.又∵+=1,∴9x₁²+y₁²=4.

∴S²=4-9x₁y₁.而1=+≥-2··=,

則-9x₁y₁≤4,即S²≤8,S≤2.當且僅當=，即x₁=y₁時，“=”成立.

當x₁=0時,|MN|=,△QMN的面積S=××=2.∴S的最大值是2.