Question

（2013•廣州三模）某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：
（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的莖葉圖看出16個數(shù)據(jù)，找出眾數(shù)和中位數(shù)，中位數(shù)需要按照從小到大的順序排列得到結(jié)論．
（2）由題意知本題是一個古典概型，至多有1人是“極幸福”包括有一個人是極幸福和有零個人是極幸福，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（3）由于從該社區(qū)任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”學(xué)生的人數(shù)，得到變量的可能取值是0、1、2、3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，算出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由莖葉圖得到所有的數(shù)據(jù)從小到大排，8.6出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75；
（2）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則P(A)=P(A0)+P(A1)=

C 3 12

C 3 16

+

C 1 4 C 2 12

C 3 16

=

121

140

（3）ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(

3

4

)3=

27

64

；P(ξ=1)=

C

1 3

1

4

(

3

4

)2=

27

64

P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

4

)2

3

4

=

9

64

；P(ξ=3)=(

1

4

)3=

1

64

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

七彩教育網(wǎng)
所以Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=0.75．
另解：ξ的可能取值為0、1、2、3．則ξ～B(3，

1

4

)，P(ξ=k)=

C

k 3

(

1

4

)k(

3

4

)3-k．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	( 3 4 )3	C 1 3 ( 1 4 )1( 3 4 )2	C 2 3 ( 1 4 )2( 3 4 )1	( 1 4 )3

所以Eξ=3×

1

4

=0.75．

點評：本題是一個統(tǒng)計綜合題，對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題，考查最基本的知識點．