Question

（本小題滿分12分）
四面體ABCD中，對棱AD⊥BC，對棱AB⊥CD，試證明：AC⊥BD.

Answer 1

略

證法1：作AO⊥平面BCD于O，則BO、CO、DO分別為AB、AC、AD在平面BCD內的射影.        ∵CD⊥AB,CD平面BCD        ∴CD⊥BO（三垂線定理的逆定理）
同理BC⊥DO        ∴O為△BCD的垂心       從而BD⊥CO
∴BD⊥AC（三垂線定理），即AC⊥BD
證法2：作出向量、、、、、.
∵⊥，⊥
∴·=0，·=0
又=+，=+
∴·=·+·++·
=·+ (++)
=·+·=0
∴⊥      ∴AC⊥BD