Question

定義“矩陣”的一種運(yùn)算

a b c d

•

x y

=

ax+by cx+dy

，該運(yùn)算的意義為點(diǎn)（x，y）在矩陣的變換下成點(diǎn)

a b c d

．設(shè)矩陣A=

1 3

3 -1

（1）已知點(diǎn)P在矩陣A的變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

3

，2)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)矩陣A變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這樣的直線；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由題意，得出關(guān)于x，y的方程，解之即得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線方程為：y=kx+b（k≠0），該直線上的任一點(diǎn)M（x，y），經(jīng)變換后得到的點(diǎn)N（x+

3

y，

3

x-y）仍在該直線上，再結(jié)合求方程的解即可求得k，b值，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）
由題意，有

x+ 3 y= 3 3 x-y=2

解得

x= 3 4 3 y= 1 4

，
即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

4

3

，

1

4

)．
（2）假設(shè)存在這樣的直線，因?yàn)槠叫凶鴺?biāo)軸的直線顯然不滿足條件，
所以設(shè)直線方程為：y=kx+b（k≠0）
因?yàn)樵撝本�上的任一點(diǎn)M（x，y），經(jīng)變換后得到的點(diǎn)N（x+

3

y，

3

x-y）仍在該直線上
所以

3

x-y=k(x+

3

y)+b
即(

3

-k)x-(1+

3

k)y-b=0，其中y=kx+b（k≠0）
代入得(

3

k2+2k-

3

)x+(2+

3

k)b=0對(duì)任意的x∈R恒成立

3 k2+2k- 3 =0 (2+ 3 k)b=0

解之得

k= 3 3 ，- 3 b=0

故直線方程為y=

3

3

x或y=-

3

x．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩陣變換的問(wèn)題，其中涉及到矩陣的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．