Question

定義在R上的函數y=f（x）是減函數，且對任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，則當1≤x≤4時，2x-y的最大值為（　�。�

A．1

B．10

C．5

D．8

Answer 1

分析：首先根據已知條件確定函數的性質沒利用函數的奇偶性和單調性求解不等式，得到x，y所滿足的條件，確定可行域與目標函數，把已知問題轉化為線性規劃問題，利用目標函數的幾何意義確定最值，求解線性規劃問題，要注意結合目標函數的幾何意義求解最值，該題中，目標函數Z=2x-y的幾何意義是直線2x-y-Z=0在y軸上截距的相反數，所以當直線在y軸上截距最小時，對應的目標函數的最大值

解答：解：由于任意的a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知函數y=f（x）為奇函數
由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得f（x²-2x）≤-f（2y-y²）
由函數為奇函數可得式f（x²-2x）≤f（-2y+y²）
∵函數y=f（x）為R上的減函數
∴x²-2x≥-2y+y²
即x²-y²-2（x-y）≥0
整理可得，（x+y-2）（x-y）≥0
作出不等式組

(x+y-2)(x-y)≥0 1≤x≤4

所表示的平面區域即可行域如圖所示的△ABC
令Z=2x-y，則Z表示2x-y-z=0在y軸上的截距的相反數，
由圖可知，當直線經過點A（1，1）時Z最小，最小值為Z=2×1-1=1，當直線經過點C（4，-2）Z最大，最大值2×4-（-2）=10
故選B

點評：本題主要考查了抽象函數的函數的單調性與函數的奇偶性的綜合應用，不等式表示平面區域的確定，利用線性規劃求解目標函數的最值問題．