Question

【題目】（本小題滿分為14分）已知定義域為R的函數是奇函數．

（1）求a，b的值；

（2）若對任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1.（2）

【解析】試題分析：（1）由函數是奇函數可得，將代入兩個特殊值得到關于的方程組求解其值；（2）首先利用定義法判斷函數的單調性，利用奇函數將不等式變形為f（x2-x）< f（-2x2+t），，利用單調性得到關于的恒成立不等式，分離參數后通過求函數最值得到的取值范圍

試題解析：（1）∵f（x）是奇函數且0∈R，∴f（0）=0即

∴

又由f（1）=-f（-1）知 a=2

∴f（x）=

（2）證明設x1,x2∈（-∞,+∞）且x1<x2

·

∵y=2x在（-∞,+∞）上為增函數且x1<x2，∴

且y=2x>0恒成立，∴

∴f（x1）-f（x2）>0 即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（-∞,+∞）上為減函數

∵f（x）是奇函數f（x2-x）+f（2x2-t）<0等價于f（x2-x）<-f（2x2-t）=f（-2x2+t）

又∵f（x）是減函數，∴x2-x>-2x2+t

即一切x∈R，3x2-x-t>0恒成立

∴△=1+12t<0，即t<