Question

【題目】已知函數,為的導函數.

（1）證明：在定義域上存在唯一的極大值點；

（2）若存在,使,證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）對函數求導得,當時, ；當時,,所以在上遞減,又因為,,判斷出單調性,即可證明在定義域上存在唯一的極大值點.

（2）假設存在,使,代入函數得,整理得.設新函數,求導結果大于,在上遞增,再設,則,即,,整理可得,根據對數均值不等式得出.

（1）,

當時,,,,

“”不能同時取到,所以；

當時,,所以在上遞減,

因為,,

所以在定義域存在唯一,使且；

當時,；當時,,

所以是在定義域上的唯一極值點且是極大值點.

（2）存在,使,即,

得.

設,則,在上遞增,

不妨設,則,即,,

所以,得,

根據對數均值不等式,可得,.