Question

【題目】關于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集為（﹣∞，+∞），則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，
則a（x2+3）≥|x+1|，
即a≥ ，
設t=x+1，則x=t﹣1，
則不等式a≥ 等價為a≥ = = ＞0
即a＞0，
設f（t）= ，
當|t|=0，即x=﹣1時，不等式等價為a+3a=4a≥0，此時滿足條件，
當t＞0，f（t）= = ，當且僅當t= ，
即t=2，即x=1時取等號．
當t＜0，f（t）= = ≤ ，
當且僅當﹣t=﹣ ，
∴t=﹣2，即x=﹣3時取等號．
∴當x=1，即t=2時，fmax（t）= = ，
∴要使a≥ 恒成立，則a ，
方法2：由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0，
則a（x2+3）≥|x+1|，
∴要使不等式的解集是（﹣∞，+∞），則a＞0，
作出y=a（x2+3）和y=|x+1|的圖象，
由圖象知只要當x＞﹣1時，直線y═|x+1|=x+1與y=a（x2+3）相切或相離即可，
此時不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等價為不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0，
對應的判別式△=1﹣4a（3a﹣1）≤0，
即﹣12a2+4a+1≤0，
即12a2﹣4a﹣1≥0，
（2a﹣1）（6a+1）≥0，
解得a≥ 或a≤﹣ （舍），
故答案為：[ ，+∞）

將不等式恒成立進行參數分類得到a≥ ，利用換元法將不等式轉化為基本不等式的性質，根據基本不等式的性質求出 的最大值即可得到結論．