Question

 (滿分14分）設(shè)函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)時,(其中不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)試討論關(guān)于x的方程:在區(qū)間[0,2]上的根的個數(shù).

 

Answer 1

【答案】

(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為.

(2) 時,不等式恒成立.

(3) 時,方程無解;

或時,方程有唯一解;

時,方程有兩個不等的解.

【解析】(1)直接利用導(dǎo)數(shù)大（小）于零，求其單調(diào)增（減）區(qū)間即可.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的最大值，則.

(3) 即

然后令,再利用導(dǎo)數(shù)確定g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值，畫出草圖，觀察直線y=a在什么范圍變化時，它與y=g(x)有不同的交點(diǎn).

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091820424623235948/SYS201209182043442735794902_DA.files/image013.png">.       ……… 1分

由得;  ……… 2分                    

由得,       ………3分

則增區(qū)間為,減區(qū)間為.       ………4分

(2)令得,

由(1)知在上遞減,在上遞增,   ………6分

由,且,      ……… 8分

時, 的最大值為,

故時,不等式恒成立.   ………9分

(3)方程即.記,則

.由得;由得.

所以在上遞減;在上遞增.

而,    ………10分

所以,當(dāng)時,方程無解;

當(dāng)時，方程有一個解;

當(dāng)時,方程有兩個解;

當(dāng)時,方程有一個解;

當(dāng)時,方程無解.                ………13分

綜上所述,時,方程無解;

或時,方程有唯一解;

時,方程有兩個不等的解.      ………14分