Question

【題目】已知橢圓：的短軸端點為，，點是橢圓上的動點，且不與，重合，點滿足，.

（Ⅰ）求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設，，結合垂直關系設出兩直線的方程，相乘即可得到動點的軌跡方程；

（Ⅱ）利用根與系數的關系表示四邊形面積，轉求函數最值即可.

（Ⅰ）法一：設，，

直線

直線

得

又，

，

整理得點的軌跡方程為

法二：設，，

直線

直線

由,解得：，又，

故，代入得.

點的軌跡方程為

法三：設直線，則直線

直線與橢圓的交點的坐標為.

則直線的斜率為.

直線

由 解得:點的軌跡方程為：

（Ⅱ）法一：設，由（Ⅰ）法二得：

四邊形的面積，

，當時，的最大值為.

法二：由（Ⅰ）法三得：四邊形的面積

當且僅當時，取得最大值.