Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

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AD，E，F分別為PC，BD的中點．求證：
（I）EF∥平面PAD；
（Ⅱ）PA⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（I）在△CPA中，易證EF為其中位線，從而可證EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由側面PAD⊥底面ABCD，易證CD⊥側面PAD，從而有CD⊥PA；由PA=PD=

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AD，可證PA²+PD²=AD²，從而PA⊥PD，利用線面垂直的判定定理即可證得結論．

解答：證明：（I）連接AC，∵底面ABCD是正方形，F為BD的中點，F∈AC，且F也是AC的中點，…2分

在△CPA中，∵E為PC的中點，
∴EF∥PA，…4分
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；…6分
（Ⅱ）∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥側面PAD，…8分
∵PA?側面PAD，
∴CD⊥PA，…9分
又∵PA=PD=

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AD，
∴PA²+PD²=AD²，所以PA⊥PD，…11分
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC…12分

點評：本題考查直線與平面平行的判定與直線與平面垂直的判定，考查推理與運算能力，屬于中檔題．