Question

已知函數f(x)=1-

2

2x+t

（t是常實數）．
（1）若函數的定義為R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在實數t使得y=f（x）是奇函數，證明y=f（x）的圖象在g（x）=2^x+1-1圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）先把定義為R轉化為2^x+t≠0恒成立，求出t的取值范圍，再對t分情況討論求出對應y=f（x）的值域；
（2）由y=f（x）是奇函數得t=1，再把兩個函數作差，整理后利用基本不等式求出差的最值即可證明結論．

解答：解：（1）因為2^x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
當t=0時，y=f（x）的值域為（-∞，1）；（4分）
當t＞0時，由y=1-

2

2x+t

得，2x=

2-t+ty

1-y

＞0，
因而

y-(1- 2 t )

y-1

＜0
即y=f（x）的值域為(1-

2

t

，1)．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函數得t=1，所以f(x)=1-

1

2x+1

（8分）
f(x)-g(x)=1-

2

2x+1

-(2•2x-1)，f(x)-g(x)=4-[

2

2x+1

+2(2x+1)]≤0（11分）
當“=”成立時，必有

2

2x+1

=2(2x+1)，即2^x=0，此式顯然不成立．（13分）
所以對任意實數x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的圖象在g（x）=2^x+1-1圖象的下方．（14分）

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數奇偶性的應用和函數圖象間的關系的轉化，是對函數知識的綜合考查，屬于中檔題目．