Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上兩個不同的點，F是橢圓的右焦點，且|FA|+|FB|=

18

5

．
（1）求線段AB的中點M的橫坐標；
（2）設A、B兩點關于直線y=kx+m對稱，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知中的橢圓方程可求出橢圓的離心率，進而根據橢圓的焦半徑公式，可求出線段AB的中點M的橫坐標；
（2）將A，B兩點坐標代入橢圓方程，利用點差法，結合M點在橢圓內部，可求出k的取值范圍

解答：解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1
a=5，b=3，則c=4
∴橢圓的離心率e=

4

5

∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上兩個不同的點，
F是橢圓的右焦點，|FA|+|FB|=

18

5

∴（5-

4

5

x₁）+（5-

4

5

x₂）=

18

5

即x₁+x₂=8
故線段AB的中點M的橫坐標為4
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上兩個不同的點，
∴

x12 25 + y12 9 =1 x22 25 + y22 9 =1

兩式相減得

1

25

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

1

9

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
由（1）得

8

25

（x₁-x₂）+2•

yM

9

（y₁-y₂）=0
①當x₁≠x₂時，k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

- 8 25

2yM  9

=-

36

25yM

∵A、B兩點關于直線y=kx+m對稱，
∴k_AB=-

1

k

∴y_M=

36

25

k
∵M點橢圓內部，
∴

16

25

+

( 36 25 k)2

9

＜1
解得-

5

4

＜k＜

5

4

②當x₁=x₂時，AB與x軸垂直，此時k=0
綜上所述，k的取值范圍為（-

5

4

，

5

4

）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應用，雙曲線的簡單性質，聯立方程，設而不求，韋達定理，是解答此類問題的三架馬車．