Question

已知點A、D分別在x軸、y軸上滑動的平行四邊形ABCD，∠BAD=

π

3

，AB=1，AD=2．則

OB

•

OC

（O為坐標原點）的最大值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：利用向量的三角形法則、數量積運算、兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設∠OAD=θ．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

AB

=

DC

．
∵

OA

⊥

OD

，∴

OA

•

OD

=0．
∵

OB

=

OA

+

AB

，

OC

=

OD

+

DC

．
∠BAD=

π

3

，AB=1，AD=2．
∴

OB

•

OC

=(

OA

+

DC

)•(

OD

+

DC

)
=

OA

•

DC

+

OD

•

DC

+

DC

2+1
=2cosθ•1•cos(π-θ-

π

3

)+2sinθ•1•cos[π-(

π

2

-θ)-

2π

3

]+1
=-2cosθcos(θ+

π

3

)+2sinθcos(θ-

π

6

)+1
=2cosθsin(θ-

π

6

)+2sinθcos(θ-

π

6

)+1
=2sin(2θ-

π

6

)+1≤3．
因此則

OB

•

OC

（O為坐標原點）的最大值是3．
故答案為：3．

點評：本題考查了向量的三角形法則、數量積運算、兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．