Question

已知曲線的直角坐標(biāo)方程為. 以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. P是曲線上一點(diǎn)，，，將點(diǎn)P繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn)Q，，點(diǎn)M的軌跡是曲線.
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）[2，4].

解析試題分析：本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式“，”轉(zhuǎn)化得到曲線的極坐標(biāo)方程，設(shè)出M，P點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用已知條件得P點(diǎn)坐標(biāo)代入到中即可；第二問，由曲線的極坐標(biāo)方程得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的有界性求的最值.
（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為，即．
在極坐標(biāo)系中，設(shè)M(ρ，θ)，P(ρ₁，α)，則
題設(shè)可知，．        ①
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C₁上，所以．    ②
由①②得曲線C₂的極坐標(biāo)方程為．    6分
（2）由（1）得
．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cf/9/1mxbz4.png" style="vertical-align:middle;" />的取值范圍是，所以|OM|的取值范圍是[2，4]．  10分
考點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)最值.