Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線AP與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓的特征可得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)（0，b）時(shí)，△APB面積的最大，結(jié)合題中的條件可得a、b與c的關(guān)系進(jìn)而得到答案．
（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2），可得點(diǎn)D與BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，進(jìn)而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），再寫出直線PF的方程，根據(jù)點(diǎn)E到直線PF的距離等于直徑BD的一半，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，F(xiàn)（c，0）．
由題意知

1 2 • 2a•b=2 3 a=2 a2=b2+c2

解得b=

3

，c=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

．
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0）．
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k）．
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．
因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)k=±

1

2

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，±

3

2

)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，±2）．
直線PF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線PF相切．
當(dāng)k≠±

1

2

時(shí)，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點(diǎn)E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因?yàn)閨BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓中有關(guān)數(shù)值的關(guān)系，以及橢圓與直線的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系．