Question

已知拋物線方程為x²=4y，過點M（2，3）作直線l交拋物線于A、B兩點，且M為線段AB中點．
（1）求直線l的方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）設直線l：y-3=k（x-2），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用中點坐標公式即可求得k值，從而解決問題．
（2）由（1）知一元二次方程x²-4x-4=0，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得P值，從而解決問題．

解答：解：（1）設直線l：y-3=k（x-2）代入x²=4y消去y并整理得x²-4kx+8k-12=0，
依題意得x₁+x₂=4k=4，k=1，
此時直線方程為y=x+1．（6分）
（2）由（1）知x²-4x-4=0，|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=8．（12分）

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，是對知識的綜合考查，屬于中檔題目．在研究直線與圓錐曲線的位置關系時，一般常把直線與圓錐曲線方程聯立，易錯點在與忘記限制對應判別式．