Question

如圖，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，側棱與底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，，．
（I）求證：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大小．

Answer 1

證明：（I）作BM⊥CD，垂足為M，連接AM．
因為AB∥CD，AD⊥DC，BM⊥CD，且AB=AD=1，
∴四邊形ABMD是正方形
∴BM=DM=1，BD=
又∵，
∴CM==1
∴CD=2，即CD²=BD²+BC²
∴DB⊥BC，
又∵DB⊥B′B，B′B∩BC=B
∴DB⊥平面BC′
而BC′?平面BC′
∴DB⊥BC′
解：（II）設AM與BD交于點E，連接A′E
由（I）知，ME⊥BD，且DE=BE
∵A′A⊥平面ABCD，
∴A′A⊥AD，A′A⊥AB
又∵AB=AD=1，∴A′D=A′B
又∵DE=BE，
∴A′E⊥BD
綜上可知∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角，
在△A′AE中，∵A′A=，AE=BD=
∴tan∠A′EA==
即∠A′EA=60°
∴∠A′EM=120°
∴二面角A′-BD-C的大小為120°
分析：（I）作BM⊥CD，垂足為M，連接AM．由已知中AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，易得到四邊形ABMD是正方形，則正方形的對角線BD=，由勾股定理即可得到DB⊥BC′；
（II）設AM與BD交于點E，連接A′E，結合（I）中結論，可證得∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角，解三角形A′AE，求出∠A′EA大小后，根據∠A′EA與∠A′EM互為鄰補角，即可得到二面角A′-BD-C的大小．
點評：本題考查的知識點是直線與直線垂直的判定，二面角的求法，其中（I）的關鍵是熟練掌握證明線線垂直的方法，（II）的關鍵是證得∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角，將二面角問題轉化為解三角形問題．