Question

設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，對定義域內的任意x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1時，f（x）＞0．
（1）寫出一個符合要求的函數，并猜想f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析：（1）由已知中定義域內的任意x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），根據對數函數的性質，易得y=log_ax（a＞1，x＞0），滿足條件；
（2）根據f（xy）=f（x）+f（y），我們利用作差法，可以判斷出f（x）在（0，+∞）上單調遞增，而且求出f（4）=2，則可將不等式f（x）+f（x-3）≤2轉化為一個一個關于x的不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答：解：（1）y=log_ax（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（3分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁
由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x₁，x=x₂，則，∵x₁＞x₂＞0，∴

x1

x2

＞1，∴f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（6分）
由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分）
由f（x）在（0，+∞）上單調遞增，得

x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0

，…（10分）             解得

-1≤x≤4 x＞3

，…（11分）
所以不等式的解集為{x|3＜x≤4}．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，抽象函數及其應用，其中在解答抽象函數時，使用的“湊”的思想是解答本題的關鍵，但解答（2）時，易忽略函數的定義域為（0，+∞），而錯解為-1≤X≤4．