Question

設a為實數，記函數的最大值為g（a）．
（1）設t=，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范圍是，進而得m（t）的解析式．
（2）由題意知g（a）即為函數m（t）=，的最大值，直線是拋物線m（t）=的對稱軸，分a＞0、a=0、a＜0三種情況利用函數的單調性求出函數f（x）的最大值為g（a）．
解答：解：（1）∵，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵，且t≥0…①，∴t的取值范圍是．
由①得：，∴=，．
（2）由題意知g（a）即為函數m（t）=，的最大值，
∵直線是拋物線m（t）=的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
1）當a＞0時，函數y=m（t），的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知m（t）在上單調遞增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）當a=0時，m（t）=t，在上單調遞增，有g（a）=2；
3）當a＜0時，，函數y=m（t），的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若即時，g（a）=，
若即時，g（a）=，
若∈（2，+∞）即時，g（a）=m（2）=a+2．
綜上所述，有g（a）=．
點評：本題主要考查二次函數在閉區間上的最值的求法，函數解析式求解的方法，體現了分類討論的數學思想．