Question

已知

a

、

b

都是非零向量，且

a

+3

b

與7

a

-5

b

垂直，

a

-4

b

與7

a

-2

b

垂直，求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：根據(jù)互相垂直的兩個向量數(shù)量積為零，得（

a

+3

b

）•（7

a

-5

b

）=0且（

a

-4

b

）•（7

a

-2

b

）=0．由此結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)，化簡整理得|

a

|=|

b

|且2

a

•

b

=

b

²，再運用向量夾角公式，得到

a

、

b

的夾角余弦值，即得

a

與

b

的夾角大小．

解答：解：由題意，得
（

a

+3

b

）•（7

a

-5

b

）=0且（

a

-4

b

）•（7

a

-2

b

）=0，
即7

a

²+16

a

•

b

-15

b

²=0…①，
7

a

²-30

a

•

b

+8

b

²=0…②
①-②得2

a

•

b

=

b

²，代入①式得

a

²=

b

²，|

a

|=|

b

|
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

1 2 | b |2

| b |2

=

1

2

，
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=60°
即

a

與

b

的夾角為60°．

點評：本題給出關(guān)于向量

a

、

b

的幾個線性組合，在已知兩對向量互相垂直的情況下求向量

a

與

b

的夾角大小．著重考查了平面向量數(shù)量積的公式及其運算性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．